神经图形
神经辐射场（NeRF）
神经辐射场（NeRF）将场景表示为连续体渲染场：在任意 3D 位置 \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3\)、视角方向 \(\mathbf{d} \in \mathbb{R}^3\) 下，体密度 \(\sigma \in \mathbb{R}\) 与辐射颜色 \(\mathbf{c} \in \mathbb{R}^3\) 由多层感知机（MLP）\(f_\theta : (\mathbf{x}, \mathbf{d}) \rightarrow (c, \sigma)\) 建模，其中 \(\theta\) 为可学习参数。渲染某个像素时，先沿相机光线 \(\mathbf{r} = \mathbf{o} + t\mathbf{d}\) 采样点并预测其密度与颜色，再通过体渲染方程（数值积分近似）计算像素颜色 \(\mathbf{C}(\mathbf{r})\)：
其中 \(\delta_i = t_{i+1} − t_i\)，\(T_i(\sigma)=\exp \left(-\sum_{j<i} \sigma_j \delta_j\right)\)。后文为简化叙述，常将 \(\widehat{\mathbf{C}}\) 视为由 \(\sigma, \mathbf{c}, T\) 决定，其中 \(T\) 又由 \(\sigma\) 决定。我们把单个采样点对累计颜色的贡献记为权重 \(\omega_i\)：
NeRF 通过最小化光度重建损失进行优化：
体渲染方程中各项的物理意义
点的 alpha 值：\(\alpha_i = 1-\exp \left(-\sigma_i \delta_i\right)\)
点对累计颜色的贡献：\(\omega_i = T_i \alpha_i\)
每条光线的不透明度：\(\tau = \sum_i \omega_i\)
每条光线的深度：\(d = \sum_i \omega_i t_i\)，其中 \(t_i\) 是第 i 个点到相机的距离
Flow Matching
设 \(\mathbb{R}^d\) 为数据空间，数据点记为 \(x = (x^1, \cdots ,x^d) \in \mathbb{R}^d\)。
可以把 \(x\) 理解为数据空间中的一个位置或样本点：如果数据是二维点，则 \(d=2\)，每个 \(x\) 是平面上的一点；如果数据是 28x28 图像，则 \(d=784\)，每个 \(x\) 是像素向量。
本文中两个核心对象为：概率密度路径 \(p: [0,1] \times \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}_{>0}\)（随时间变化的概率密度函数，满足 \(\int p_t(x)dx = 1\)），以及随时间变化的向量场 \(v: [0,1] \times \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d\)。
在数学中，\(f: A \rightarrow B\) 表示函数 \(f\) 以集合 \(A\) 中元素为输入，并输出到集合 \(B\)。这里 \(p\) 接收两个输入：时间变量 \(t \in [0,1]\) 与位置（样本点）\(x \in \mathbb{R}^d\)，输出一个正实数 \(\mathbb{R}_{>0}\)（该时刻该位置的概率密度）。\(p(x, t)\) 或 \(p_t(x)\) 都表示时刻 \(t\) 下点 \(x\) 的概率密度。
向量场 \(v_t\) 可定义一个随时间变化的微分同胚映射（flow）\(\phi: [0,1] \times R_d \rightarrow R_d\)，其由以下常微分方程（ODE）给出：